大连海事大学2020年理学院硕士入学考试大纲

考试科目：高等代数

试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

考试内容 

一、 多项式

1. 多项式的带余除法、整除性，比较大公因式、互素多项式。

2. 不可约多项式，因式分解性定理，重因式，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式不可约的判定。

3. 多项式函数与多项式的根，有理系数多项式有理根的求法，根与系数关系。

二、 行列式

1．n阶行列式的概念和基本性质，行列式的子式、余子式以及代数余子式。 

2．行列式按行(列)展开定理，Vandermonde行列式，Cramer法则，Laplace定理，行列式乘积法则。

3. 行列式的计算。 

三、 线性方程组 

 1.  向量空间。

2．向量组的线性相关与线性无关。

3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。

4．等价向量组的概念和性质。

5．矩阵的秩。 

6．求解线性方程组的消元法。 

7．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充要条件。

8．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。

9．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。

四、 矩阵 

1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。

2．矩阵的初等变换，等价矩阵，等价标准形。

3．初等矩阵的概念和性质。

4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。 

5．分块初等矩阵及应用。

五、 二次型 

1．二次型的矩阵表示及秩。 

2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。

3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。

4．用正交变换化二次型为标准型。

5．一般数域（复数域、实数域）上二次型的标准形和规范形，惯性定理。

6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。

六、 线性空间 

1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。

2．线性子空间及其交与和的基与维数。 

3．线性空间的基变换和过渡矩阵。

4．线性子空间的直和。 

5．线性空间的同构。

七、 线性变换 

1．线性变换的概念、矩阵表示、秩、运算及在给定基下的矩阵。 

2．线性变换（矩阵）的特征值与特征向量的概念、性质。 

3．相似变换、相似矩阵的概念及性质。 

4．线性变换（矩阵）可相似对角化的充要条件。

5．正交矩阵、实对称阵及其性质。

6．值域与核的基与维数。 

7．不变子空间。

8．Hamlton-Cayley定理，Jordan标准形，比较小多项式。

八、 -矩阵

1. -矩阵的初等变换，-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子以及三种因子之间的关系。

2. -矩阵的等价与数字矩阵的相似。

3. Jordan标准型的理论推导。

九、 欧氏空间 

1．向量的内积、范数(长度)、夹角。 

2．Schmidt正交化过程，标准正交基。

3．正交子空间和正交补。

4．正交变换和对称变换的概念和性质。

5. 实对称阵正交相似于对角阵的计算。

参考书目 

1．课程教材：《高等代数》（第四版），北京大学数学系编，高等教育出版社，2015年。

2．参考资料：徐仲等编，《高等代数导教、导学、导考(第四版)》，西北工业大学出版社，2014年。　

3．参考资料：孙怡东主编，《高等代数辅导》，大连海事大学出版社，2019年。

考试科目：数学分析

试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

考试内容 

一、分析基础

(1) 实数概念、确界

(2) 函数概念

(3) 序列极限与函数极限

(4) 无穷大与无穷小

(5) 连续概念及基本性质，一致连续性

(6) 收敛原理

二、一元微分学

(1) 导数概念及几何意义

(2) 求导公式求导法则

(3) 高阶导数

(4) 微分

(5) 微分中值定理

(6) L’Hospital法则

(7) Taylor公式

(8) 应用导数研究函数

三、一元积分学

(1) 不定积分法与可积函数类

(2) 定积分的概念、性质与计算

(3) 定积分的应用

(4) 广义积分

四、级数

(1) 数项级数的敛散判别与性质

(2) 函数项级数与一致收敛性

(3) 幂级数

(4) Fourier级数

五、多元微分学

(1) 欧氏空间

(2) 多元函数的极限

(3) 多元连续函数

(4) 偏导数与微分

(5) 隐函数定理

(6) Taylor公式

(7) 多元微分学的几何应用

(8) 多元函数的极值

六、多元积分学

(1) 重积分的概念与性质

(2) 重积分的计算

(3) 二重、三重广义积分

(4) 含参变量的正常积分和广义积分

(5) 曲线积分与Green公式

(6) 曲面积分

(7) Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关

(8) 场论初步

基本要求

一、分析基础

(1) 了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等式及平 均值不等式。

(2) 熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等）。

(3) 掌握序列极限的意义、性质（特别，单调序列的极限存在性定理）和运算法则，熟练掌握求序列极限的方法。

(4) 掌握函数极限的意义、性质和运算法则（自变量趋于有限数和趋于无限两种情形），熟练掌握求函数极限的方法，了解广义极限和单侧极限的意义。

(5) 熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变量代换、两边夹法则和两个重要极限）求极限的基本技巧，以及应用Stokes公式求序列极限的方法。

(6) 理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高（低）阶无穷大（小）量的意义，熟练使用等价无穷小替换求极限。

(7) 熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，理解函数两类间断点的意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。

(9) 掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限（当自变量趋于有限数及趋于无穷两种情形）存在的充分必要条件。

二、一元微分学

(1) 掌握导数的概念和几何及物理意义，了解单侧导数的意义，并能用定义求函数在给定点的导数。

(2) 应用求导公式和法则熟练计算函数导数，包含由参数式方程给出的函数的导数、隐函数的导数以及函数的高阶导数。

(3) 理解函数微分的概念和函数可微的充分必要条件，了解一阶微分形式的不变性，能利用微分作近似计算。

(4) 理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），并能应用它们解决函数零点存在性及不等式证明等问题。

(5) 熟练掌握应用L’Hospital法则求函数极限的方法。

(6) 理解Taylor公式（Lagrange余项和Peano余项）的意义，并熟记五个基本公式（在x=0点的带有Peano余项的Taylor公式），能将给定函数在指定点展成Taylor级数，掌握应用Taylor公式解决不等式证明、求函数极限等问题的基本技巧。

(7) 熟练掌握应用导数判断函数升降、凹凸性以及画出函数图像的方法，以及求一元函数极值和比较值的方法。

三、一元积分学

(1)  理解不定积分概念和基本性质，熟记基本积分表，理解并掌握换元法和分部积分法的意义和方法，解应用他们熟练计算不复杂的不定积分。

(2) 了解可积分函数类的意义及其积分法，熟练掌握有理函数、三角函数有理式及简单的根式的有理式的积分方法。

(3) 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及函数在有限区间上可积的充分必要条件，熟练掌握定积分的计算方法。了解变限定积分的性质，掌握积分中值定理。

(4) 熟练应用定积分计算平面曲线弧长、平面图形面积、立体体积、旋转曲面表面积，并解应用于求均匀平面图形重心坐标等简单物理、力学问题。

(5) 理解广义积分及其收敛、绝对收敛和发散的意义，掌握广义积分收敛的判定法则。

四、级数

(1) 掌握数项级数收敛、发散和绝对收敛的概念、级数收敛的充分必要条件（Cauchy准则），收敛和绝对收敛级数的性质。

(2) 熟练掌握正项级数敛散判别法（比较判别法、D’Alembert判别法、Cauchy根式判别法以及Cauchy积分判别法），掌握一般项级数敛散判别方法。能计算一些特殊数项级数的和。

(3) 理解函数项级数收敛的意义并能确定其收敛域。理解函数序列一致收敛以及函数项级数一致收敛的意义，掌握函数项级数一致收敛的判别法则（包含Cauchy准则，Weierstrass判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法等）及一致收敛级数的性质。

(4) 理解幂级数的概念并能确定其收敛半径。掌握幂级数的基本性质和运算法则，熟记五个基本幂级数展开式。能求出给定函数在指定点的幂级数展开式及应用幂级数运算求一些级数的和。

(5) 理解函数Fourier展开式的意义，掌握求Fourier展开式的基本方法。了解Fourier级数的收敛性定理、逐项积分和逐项求导定理以及Parseval等式，并能应用Fourier级数求某些级数的和。

五、多元微分学

(1) 理解平面点集的若干概念。

(2) 理解多元函数的概念。掌握二元函数的二重极限、累次极限的意义，并能根据定义计算二元函数极限，或证明二重极限不存在，能计算二元函数的二重极限和累次极限。

(3) 理解多元连续函数的概念，掌握其性质，并能判断多元函数的连续性。了解多元函数的一致连续性。

(4) 理解偏导数的概念，掌握其计算法则，能熟练计算函数的偏导数和复合函数的导函数，能计算函数在给定方向上的导函数。

(5) 理解多元函数的微分的概念，并能判断函数的可微性。

(6) 理解隐函数存在定理和反函数存在定理，熟练掌握隐函数的微分法。

(7) 理解Taylor公式的意义，并能求出二元函数的具有指定阶数的Taylor公式。

(8)  能应用偏导数求空间曲线的切线、法平面及空间曲面的法线和切平面的方程。

(9) 理解多元函数的极限和比较值的意义、极值的必要条件和充分条件，掌握求多元函数极值、条件极值及在闭区域上的比较值的方法，并用于解决实际问题。

六、多元积分学

(1) 理解重积分的概念、可积的充分必要条件及重积分的性质。

(2) 掌握二重积分和三重积分化累次积分的方法以及二重、三重积分的变量代换方法（特别，平面极坐标变换，空间柱坐标和球坐标变换），能熟练计算二重和三重积分，并用于计算平面图形面积、柱体体积、曲面面积及曲面所围的立体体积。应用重积分求曲面面积，转动惯量，重心坐标等。

(3)了解含参变量的正常积分的基本性质（连续性，积分号下取极限、求导和求积分），了解含参变量的广义积分一致收敛性的意义及其基本性质（连续性，积分号下取极限、求导及求积分），掌握其一致收敛判别法，了解Beta和Gamma函数。 

(4) 理解第一型和第二型曲线积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲线积分。 

(5) 理解第一型和第二型曲面积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲面积分。    

(6) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意义，并能用于曲面积分或曲线积分的计算。了解空间曲线积分与路径无关的充分必要条件及其对曲线积分计算的应用。   

(7) 了解场的概念和保守场的意义，能计算场的梯度、散度和旋度。

参考书目 

1．课程教材：《数学分析》（第四版），华东师范大学编，高等教育出版社，2010年。

2．参考资料：滕兴虎等编，《数学分析全程学习指导与习题精解》，东南大学出版社，2013年。

考试科目：普通物理

试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

试卷内容结构：力学35％，电磁学45%，振动与波动20％

第一部分 力学

一、质点运动学

考试内容

概念：

●位置矢量；运动方程；位移；速度；加速度；角速度；角加速度；圆周运动；切向加速度；法向加速度；

◎参照系；曲线运动；

考试要求

1.借助于直角坐标系熟练地计算质点在平面内的运动速度和加速度；

2.熟练地计算质点圆周运动的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。

二、质点动力学

考试内容

概念：

●力；动量；角动量；功；动能；势能；保守力；

◎弹性碰撞；非弹性碰撞；完全非弹性碰撞

原理：

●牛顿运动定律；质点的动能定理；质点系的动能定理；质点的动量定理；质点系的动量定理；机械能守恒定律、动量守恒定律；动量矩定理；动量矩守恒定律

考试要求

1．掌握牛顿运动定律及其适用条件；

2．能用微积分方法求解一维变力作用下的简单质点动力学问题；

3． 熟练地计算直线运动情况下变力的功；

4．了解保守力作功的特点；

5．能计算重力、弹性力和万有引力势能；

6．掌握质点动能定理和动量定理，并能用它们分析、解决质点在平面内运动的力学问题；

7．理解机械能守恒定律、动量守恒定律以及它们的适用条件；

8．掌握矢量运算、微积分运算等方法在物理学中的应用。

9．运用守恒定律分析问题的思想和方法；分析简单系统在平面内运动的力学问题。

三、刚体的转动

考试内容

概念：

●刚体；刚体的定轴转动；动量矩；冲量矩；转动惯量

原理：

●刚体的定轴转动定律；刚体定轴转动中的动能定理；动量矩守恒定律

考试要求

通过质点在平面内运动和刚体绕定轴转动的情况应用刚体的定轴转动定律，角动量守恒定律及其适用条件，应用角动量守恒定律分析、计算有关问题。

第二部分 电磁学

一、静电场

考试内容

概念：

●静电场；电场强度；电场线，电势；电势差；

◎静电场的保守性

原理：

●库仑定律；高斯定理；场强与电势的关系；电场的叠加原理；电势的叠加原理

◎静电场的规律： 静电场的环路定理

考试要求：

1．掌握电势与场强的积分关系；

2．掌握场强与电势的微分关系；

3．掌握高斯定理和环路定理的应用；

4． 计算一些简单问题中的电场强度；

二、静电场中的导体与电介质

考试内容

概念：

●导体；电介质；电介质的极化；电容；电容器；

◎空腔；束缚电荷；

原理：

●介质中的高斯定律

考试要求

1．掌握有导体存在时静电场的分析与计算方法；

2．了解各向同性介质中D和E之间的关系和区别；

3．掌握介质中高斯定律的应用;

4．了解介质的极化现象及其微观解释。

三、稳恒电流的磁场

考试内容

概念：

● 磁感应强度；磁力线；磁通量

原理：

● 磁场的高斯定理；毕奥-萨伐尔定律；安培环路定理

考试要求

1．掌握用安培环路定律计算磁感应强度的条件和方法；

2．能计算一些简单问题中磁感应强度；

四、磁场对电流的作用

考试内容

概念：

●安培力；磁力矩；洛仑兹力；电偶极矩

原理：

●安培定理；洛仑兹力公式

考试要求

1．了解带电粒子在磁场中的运动规律；

2．掌握安培定理的应用；

3．了解洛仑兹力公式的应用；

4．掌握简单几何形状载流导体和载流平面线圈在磁场中所受的力和力矩。

5．能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场和纯磁场）中受力和运动。

五、磁介质

考试内容

概念：

● 磁介质的磁化；顺磁质；抗磁质；铁磁质

◎ 磁场强度；原子磁矩；面磁化电流；分子环形电流

原理：

●有磁介质存在时的安培环路定理 

考试要求

1．掌握有磁介质存在时的安培环路定理的应用；

2．掌握有磁介质存在时磁场强度计算;

3．理解磁化现象及其微观解释；

4．掌握各向同性介质中B和H之间的关系和区别.

六、电磁感应

考试内容

概念：

●自感；互感；动生电动势；涡旋电场；感生电动势；感生电场

原理：

●法拉第电磁感应定律

考试要求

1．掌握法拉第电磁感应定律的应用方法；

2．理解和掌握动生电动势及感生电动势的规律；

第三部分 振动与波动

一、简谐运动部分

考试内容

概念：

●简谐运动；振幅；相位；初位相；简谐振动的能量；周期；频率；相位差

原理：

●简谐运动的运动学方程

◎简谐运动的动力学方程

考试要求

1．掌握旋转矢量法；

2．掌握简谐振动的合成方法；

3．了解一维简谐运动的合成；

二、波动部分

考试内容

●波；平面简谐波；波形曲线；平面简谐波的波函数；波的能量；波的干涉；波的衍射；折射；衍射；反射；全反射；驻波；波的相干条件；相位突变；半波损失；全反射

◎波峰；波谷；波面；波前；波线；波腹；波节；

原理：

●惠更斯原理；叠加原理；斯涅尔定律；反射定律

考试要求

1．根据已知质点的谐振动方程建立平面简谐波的波动方程的方法及其物理意义；

2．能应用相位差或波程差概念分析和确定相干波叠加后振幅加强和减弱条件

3．了解驻波及其形成条件；

4．理解驻波和行波的区别；

参阅

1.《大学物理学·力学》 张三慧 清华大学出版社 第2版；

2.《大学物理学·电磁学》 张三慧 清华大学出版社 第2版；

3.《大学物理学·振动与波动》 张三慧 清华大学出版社 第2版。